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RÉSUMÉ
La géométrie des ensembles euclidiens semble a priori facile et abordable par des notions et des outils mathématiques simples, notamment dans les applications pratiques. En réalité, il n’en est généralement rien et les connaissances mathématiques pour l’aborder et la maîtriser pleinement sont en fait diverses et sophistiquées, et relèvent de nombreuses branches des mathématiques. Cet article est le second d’une série de deux qui présente un panorama transversal synthétique des principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec des exemples et des illustrations en deux et trois dimensions.
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-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École nationale supérieure des mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
L’objectif de ce second article est de proposer des réponses à une question fondamentale qui se pose à la fois en théorie et en pratique : quels modèles géométriques utiliser pour représenter et étudier les ensembles euclidiens de
? Il présente la seconde partie d’un panorama synthétique, branche par branche de la géométrie, en se concentrant sur les aspects, analytiques, stochastiques et hypertopologiques. Il résume les principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec de nombreux exemples et de nombreuses illustrations en deux et trois dimensions.
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13. Autres géométries
Il existe d’autres branches de la géométrie, notamment les quatre suivantes décrites ici succinctement.
13.1 Géométrie analytique
La géométrie analytique (Analytic Geometry), connue aussi sous le terme de géométrie cartésienne (Cartesian Geometry), aborde la géométrie euclidienne par l’utilisation d’un système de coordonnées dans lequel les ensembles euclidiens sont décrits par des équations ou des inéquations à l’aide d’un système de coordonnées.
l’équation cartésienne d’une droite affine dans le plan euclidien
est par exemple la suivante : ax + by + c = 0. Un demi-plan peut en conséquence être défini par : ax + by + c ≥ 0, où a, b, c sont trois constantes.
13.2 Géométrie synthétique
La géométrie synthétique (Synthetic Geometry) constitue une branche de la géométrie utilisant uniquement des méthodes d’intersections, de transformations et de constructions. Elle s’oppose ainsi à la géométrie analytique en refusant l’utilisation systématique des propriétés analytiques des figures ou l’appel aux coordonnées dites cartésiennes.
HAUT DE PAGE13.3 Géométrie projective
La géométrie projective (Projective Geometry) porte sur l’étude des propriétés géométriques qui sont invariantes par rapport aux transformations projectives (figure 34).
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BIBLIOGRAPHIE
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(2) - BERGER (M.) - Geometry, - Springer, vol. 1 and 2, [1st ed., 1987] (2009).
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(4) - COHN (D.L.) - Measure Theory, - Birkhäuser, [1st ed., 1980] (1997).
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(5) - COSTER (M.), CHERMANT (J.-L.) - Précis d’analyse d’image, - Éditions du CNRS, 560 pages (1986).
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(6) - COXETER (H.S.M.) - Introduction to Geometry, - John Wiley & Sons, [1st ed., John Wiley & Sons, 1961] (1989).
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