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RÉSUMÉ
La géométrie des ensembles euclidiens semble a priori facile et abordable par des notions et des outils mathématiques simples, notamment dans les applications pratiques. En réalité, il n’en est généralement rien et les connaissances mathématiques pour l’aborder et la maîtriser pleinement sont en fait diverses et sophistiquées, et relèvent de nombreuses branches des mathématiques. Cet article est le second d’une série de deux qui présente un panorama transversal synthétique des principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec des exemples et des illustrations en deux et trois dimensions.
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-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École nationale supérieure des mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
L’objectif de ce second article est de proposer des réponses à une question fondamentale qui se pose à la fois en théorie et en pratique : quels modèles géométriques utiliser pour représenter et étudier les ensembles euclidiens de
? Il présente la seconde partie d’un panorama synthétique, branche par branche de la géométrie, en se concentrant sur les aspects, analytiques, stochastiques et hypertopologiques. Il résume les principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec de nombreux exemples et de nombreuses illustrations en deux et trois dimensions.
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4. Géométrie distributionnelle
Le onzième cadre mathématique général est celui de la géométrie distributionnelle (Distributional Geometry) qui applique la théorie des distributions (Distribution Theory) à la géométrie (ici euclidienne).
4.1 Périmètre distributionnel et ensemble de Caccioppoli
Définition (périmètre distributionnel). Soit U un ouvert non vide de
et X un sous-ensemble borélien de
. Le périmètre distributionnel (distributational perimeter) ou périmètre de Caccioppoli-de Giorgi (Caccioppoli-de Giorgi perimeter), de X dans le sous-ensemble ouvert U, noté
, est la variation totale de la fonction indicatrice 1X de X dans U :
où
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AUBIN (J.P.), FRANKOWSKA (H.) - Set-Valued Analysis, - Birkhäuser (1990).
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(2) - BERGER (M.) - Geometry, - Springer, vol. 1 and 2, [1st ed., 1987] (2009).
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(3) - BLOCH (E.D.) - A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry, - Birkhäuser, vol. 1 and 2, [1st ed., 1997], 421 pages (2009).
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(4) - COHN (D.L.) - Measure Theory, - Birkhäuser, [1st ed., 1980] (1997).
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(5) - COSTER (M.), CHERMANT (J.-L.) - Précis d’analyse d’image, - Éditions du CNRS, 560 pages (1986).
-
(6) - COXETER (H.S.M.) - Introduction to Geometry, - John Wiley & Sons, [1st ed., John Wiley & Sons, 1961] (1989).
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