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RÉSUMÉ
La géométrie des ensembles euclidiens semble a priori facile et abordable par des notions et des outils mathématiques simples, notamment dans les applications pratiques. En réalité, il n’en est généralement rien et les connaissances mathématiques pour l’aborder et la maîtriser pleinement sont en fait diverses et sophistiquées, et relèvent de nombreuses branches des mathématiques. Cet article est le second d’une série de deux qui présente un panorama transversal synthétique des principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec des exemples et des illustrations en deux et trois dimensions.
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-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École nationale supérieure des mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
L’objectif de ce second article est de proposer des réponses à une question fondamentale qui se pose à la fois en théorie et en pratique : quels modèles géométriques utiliser pour représenter et étudier les ensembles euclidiens de
? Il présente la seconde partie d’un panorama synthétique, branche par branche de la géométrie, en se concentrant sur les aspects, analytiques, stochastiques et hypertopologiques. Il résume les principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec de nombreux exemples et de nombreuses illustrations en deux et trois dimensions.
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17. De la géométrie à l’analyse fonctionnelle
L’étude des ensembles euclidiens s’effectue classiquement et naturellement en utilisant les notions et outils des différentes branches de la géométrie. Une alternative consiste à représenter un ensemble euclidien par des fonctions.
Il est alors pertinent de transférer l’étude des ensembles euclidiens de la géométrie à l’analyse fonctionnelle (Functional Analysis) en considérant leurs fonctions associées comme par exemple les fonctions indicatrices et les fonctions distances signées. Ce changement de cadre de représentation permet l’utilisation des notions et outils de l’analyse fonctionnelle en lieu et place de ceux des différents cadres géométriques présentés ci-dessus.
Un problème ensembliste (set problem) peut ainsi être mathématiquement exprimé sous la forme d’un problème fonctionnel (functional problem).
17.1 Fonctions indicatrices
Définition (fonction indicatrice). Soit X un sous-ensemble de
non vide. La frontière indicatrice (indicator function) de X, notée 1X, est définie ainsi sur l’espace euclidien
:
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BIBLIOGRAPHIE
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(2) - BERGER (M.) - Geometry, - Springer, vol. 1 and 2, [1st ed., 1987] (2009).
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(5) - COSTER (M.), CHERMANT (J.-L.) - Précis d’analyse d’image, - Éditions du CNRS, 560 pages (1986).
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(6) - COXETER (H.S.M.) - Introduction to Geometry, - John Wiley & Sons, [1st ed., John Wiley & Sons, 1961] (1989).
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