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RÉSUMÉ
La géométrie des ensembles euclidiens semble a priori facile et abordable par des notions et des outils mathématiques simples, notamment dans les applications pratiques. En réalité, il n’en est généralement rien et les connaissances mathématiques pour l’aborder et la maîtriser pleinement sont en fait diverses et sophistiquées, et relèvent de nombreuses branches des mathématiques. Cet article est le premier d’une série de deux qui présente un panorama transversal synthétique des principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec des exemples et des illustrations en deux et trois dimensions.
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-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École nationale supérieure des mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
L’objectif de ce premier article est de proposer des réponses à une question fondamentale qui se pose à la fois en théorie et en pratique : quels modèles géométriques utiliser pour représenter et étudier les ensembles euclidiens de
? Il présente la première partie d’un panorama synthétique, branche par branche de la géométrie, en se concentrant sur les aspects vectoriels, topologiques et métriques. Il résume les principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec de nombreux exemples et de nombreuses illustrations en deux et trois dimensions.
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6. Géométrie convexe
Le quatrième cadre mathématique général est celui de la géométrie convexe (Convex Geometry) qui est la branche de la géométrie traitant des ensembles convexes et plus généralement des ensembles étoilés dans les espaces vectoriels.
6.1 Ensembles convexes
Définition (sous-ensemble convexe). Un sous-ensemble X non vide de
est convexe (convex set) s’il contient tous les segments de droites fermés joignant chacun des couples de points lui appartenant ou autrement dit :
où [x,y] est le segment de droite joignant x à y.
L’ensemble vide
est supposé convexe par convention.
Exemples et contre-exemples (sous-ensembles dans l’espace euclidien n-dimensionnel
) : un cube plein, un segment de droite, une droite, un disque ou une boule dans
sont convexes, mais un sous-ensemble comportant des trous (holes), ou creux (hollow) ne l’est pas,...
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AUBIN (J.P.), FRANKOWSKA (H.) - Set-Valued Analysis, - Birkhäuser (1990).
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(2) - BERGER (M.) - Geometry, - Springer, vol. 1 and 2, [1st ed., 1987] (2009).
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(3) - BLOCH (E.D.) - A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry, - Birkhäuser, vol. 1 and 2, [1st ed., 1997], 421 pages (2009).
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(4) - COHN (D.L.) - Measure Theory, - Birkhäuser, [1st ed., 1980] (1997).
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(5) - COSTER (M.), CHERMANT (J.-L.) - Précis d’analyse d’image, - Éditions du CNRS, 560 pages (1986).
-
(6) - COXETER (H.S.M.) - Introduction to Geometry, - John Wiley & Sons, [1st ed., John Wiley & Sons, 1961] (1989).
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