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RÉSUMÉ
La géométrie des ensembles euclidiens semble a priori facile et abordable par des notions et des outils mathématiques simples, notamment dans les applications pratiques. En réalité, il n’en est généralement rien et les connaissances mathématiques pour l’aborder et la maîtriser pleinement sont en fait diverses et sophistiquées, et relèvent de nombreuses branches des mathématiques. Cet article est le premier d’une série de deux qui présente un panorama transversal synthétique des principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec des exemples et des illustrations en deux et trois dimensions.
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-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École nationale supérieure des mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
L’objectif de ce premier article est de proposer des réponses à une question fondamentale qui se pose à la fois en théorie et en pratique : quels modèles géométriques utiliser pour représenter et étudier les ensembles euclidiens de
? Il présente la première partie d’un panorama synthétique, branche par branche de la géométrie, en se concentrant sur les aspects vectoriels, topologiques et métriques. Il résume les principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec de nombreux exemples et de nombreuses illustrations en deux et trois dimensions.
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Théorie de la mesure géométrique III : densités géométriquesArticle inclus dans l'offre
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11. Théorie de la mesure géométrique II : contenus de Minkowski
Il est important de « mesurer » des sous-ensembles de
de co-dimension non nulle, c’est-à-dire des sous-ensembles de dimension strictement inférieure à n (e.g. une courbe en dimension 2 ou 3, et une surface en dimension 3). Les mesures précédemment introduites sont inappropriées (e.g. la mesure de Lebesgue
), ou difficiles, voire impossibles à calculer (e.g. la mesure de Hausdorff). Une notion utile est fournie par les contenus de Minkowski (Minkowsk’s contents).
11.1 Contenu extérieur (n – 1)-dimensionnel de Minkowski
Définition (contenu extérieur (n – 1)-dimensionnel de Minkowski). Le contenu extérieur (n – 1)-dimensionnel de Minkowski (outer (n – 1)-dimensional Minkowski content) d’un sous-ensemble compact de
, noté
, est défini par la limite suivante si elle existe (sinon prendre les limites inférieure et supérieure) :
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BIBLIOGRAPHIE
-
(1) - AUBIN (J.P.), FRANKOWSKA (H.) - Set-Valued Analysis, - Birkhäuser (1990).
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(2) - BERGER (M.) - Geometry, - Springer, vol. 1 and 2, [1st ed., 1987] (2009).
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(3) - BLOCH (E.D.) - A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry, - Birkhäuser, vol. 1 and 2, [1st ed., 1997], 421 pages (2009).
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(4) - COHN (D.L.) - Measure Theory, - Birkhäuser, [1st ed., 1980] (1997).
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(5) - COSTER (M.), CHERMANT (J.-L.) - Précis d’analyse d’image, - Éditions du CNRS, 560 pages (1986).
-
(6) - COXETER (H.S.M.) - Introduction to Geometry, - John Wiley & Sons, [1st ed., John Wiley & Sons, 1961] (1989).
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