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RÉSUMÉ
La géométrie des ensembles euclidiens semble a priori facile et abordable par des notions et des outils mathématiques simples, notamment dans les applications pratiques. En réalité, il n’en est généralement rien et les connaissances mathématiques pour l’aborder et la maîtriser pleinement sont en fait diverses et sophistiquées, et relèvent de nombreuses branches des mathématiques. Cet article est le premier d’une série de deux qui présente un panorama transversal synthétique des principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec des exemples et des illustrations en deux et trois dimensions.
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-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École nationale supérieure des mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
INTRODUCTION
L’objectif de ce premier article est de proposer des réponses à une question fondamentale qui se pose à la fois en théorie et en pratique : quels modèles géométriques utiliser pour représenter et étudier les ensembles euclidiens de
? Il présente la première partie d’un panorama synthétique, branche par branche de la géométrie, en se concentrant sur les aspects vectoriels, topologiques et métriques. Il résume les principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec de nombreux exemples et de nombreuses illustrations en deux et trois dimensions.
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1. Ensembles euclidiens
La géométrie (geometry) est historiquement à l’origine la branche des mathématiques étudiant les figures du plan et de l’espace.
Le terme générique « objet » (object) de connotation surtout applicative est classiquement utilisé en géométrie pour désigner un objet planaire (planar object), c’est-à-dire un sous-ensemble du plan euclidien
(historiquement appelé « figure » ou plus précisément « figure planaire ») ou un objet spatial (spatial object), c’est-à-dire un sous-ensemble de l’espace euclidien
(historiquement appelé « solide » ou aussi « figure spatiale »).
Dans d’autres domaines scientifiques ce terme objet désigne une cellule (en biologie), un grain (en métallurgie), un cristal (en cristallographie), un spécimen (en anthropologie), une particule ou un corpuscule (en physique), etc.
Le terme plus général « ensembles euclidiens » (Euclidean sets) est utilisé dans les espaces euclidiens
(pour des entiers n quelconques) pour désigner leurs sous-ensembles.
La géométrie des ensembles euclidiens relève de plusieurs (en fait nombreuses) branches des mathématiques : théorie des ensembles [AF 33] ...
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BIBLIOGRAPHIE
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(5) - COSTER (M.), CHERMANT (J.-L.) - Précis d’analyse d’image, - Éditions du CNRS, 560 pages (1986).
-
(6) - COXETER (H.S.M.) - Introduction to Geometry, - John Wiley & Sons, [1st ed., John Wiley & Sons, 1961] (1989).
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