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RÉSUMÉ
La topologie générale est la branche des mathématiques qui traite des notions fondamentales utilisées en topologie et de leurs propriétés. Les intérêts théoriques et applicatifs se situent dans toutes les branches de l’analyse et de la géométrie, et pour d’autres disciplines scientifiques non mathématiques. Cet article porte sur les espaces métriques qui sont des ensembles dans lesquels les distances entre points sont rigoureusement définies, et qui sont des espaces topologiques très utiles. Ensuite sont présentés les concepts topologiques majeurs de séparation, dénombrabilité, de compacité, et de connexité dans le cadre des espaces métriques et le concept de bornitude. La métrisabilité et les théorèmes du point fixe constituent la fin de cet article.
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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France - À Andrée-Aimée Toucas pour son support bibliographique. - Au Professeur Yann Gavet pour son intérêt scientifique.
INTRODUCTION
La topologie générale est présentée en une série de six articles ; les deux premiers [AF97] [AF98] portant sur les espaces topologiques, les deux suivants [AF120] [AF121] sur les espaces métriques, et les deux derniers [AF122] [AF123] détaillant près de 150 exemples d’espaces topologiques/métriques possédant ou non les différentes notions topologiques/métriques présentées dans les articles susmentionnés.
La lecture des deux articles de la série portant sur les espaces topologiques [AF97] et [AF98] n’est pas un prérequis, mais est recommandée. Le lecteur pourra s’y référer pour consulter un ou plusieurs points particuliers.
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6. Notions de dénombrabilité
Théorème (Sierpiński, 1920). Chaque espace métrique infiniment dénombrable ne possédant aucun point isolé est homéomorphe à
muni de sa topologie habituelle (p. 328 de ).
6.1 Bases dénombrables de voisinages
Un espace métrique est à bases dénombrables de voisinages (p. 102 de , p. 35 de ).
Tout espace métrique (E,dE ) (donc aussi tout espace métrisable (cf. infra)) est à bases dénombrables de voisinages. En chaque point de (E,dE ) il convient de considérer le système fondamental de voisinages suivant
.
Un espace semi-métrique est à bases dénombrables de voisinages (p. 120 de ...
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