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1 - CONSTRUCTIONS D’ESPACES MÉTRIQUES, ENSEMBLES PARTICULIERS

  • 1.1 - Constructions d’espaces métriques
  • 1.2 - Ensembles particuliers

2 - ESPACES TOPOLOGIQUES ET MÉTRIQUES PARTICULIERS

  • 2.1 - Compacta et continua
  • 2.2 - Espaces topologiques de Baire
  • 2.3 - Espaces topologiques polonais
  • 2.4 - Espaces topologiques de Souslin et espaces topologiques de Lusin
  • 2.5 - Espaces métriques bornement compacts
  • 2.6 - Espaces topologiques de Lašnev
  • 2.7 - Espaces topologiques cosmiques
  • 2.8 - Espaces métriques de Nagata et Atsuji
  • 2.9 - Espaces topologiques jauges
  • 2.10 -  Espaces métriques convexes
  • 2.11 -  Espaces métriques intrinsèques
  • 2.12 -  Espaces métriques géodésiques
  • 2.13 -  Espaces métriques hyper-convexes

3 - ESPACES D’APPLICATIONS ENTRE ESPACES

  • 3.1 - Espaces d’applications
  • 3.2 - Topologie de la convergence ponctuelle
  • 3.3 - Théorème de la limite simple de Baire
  • 3.4 - Topologie de la convergence uniforme
  • 3.5 - Inadaptation des convergences simples et uniformes
  • 3.6 - Topologie de la convergence compacte
  • 3.7 - Topologie compacts-ouverts
  • 3.8 - Topologie initiale relative aux fonctionnelles de distances
  • 3.9 -  Relations entre les topologies
  • 3.10 -  Théorème de Dini
  • 3.11 -  Equicontinuité d’une famille d’applications
  • 3.12 -  Théorème d’Arzelà et d’Ascoli
  • 3.13 -  Équicontinuité entre deux espaces métriques

4 - ESPACES DE SOUS-ENSEMBLES D’UN ESPACE MÉTRIQUE

  • 4.1 - Classes de sous-ensembles d’un espace métrique
  • 4.2 - Convergence au sens de Painlevé et Kuratowski
  • 4.3 - La topologie de Vietoris sur les fermés d’un espace métrique
  • 4.4 - Intérêt applicatif
  • 4.5 - La topologie de Fell sur les fermés d’un espace métrique
  • 4.6 - La topologie de Wijsman sur les fermés d’un espace métrique
  • 4.7 - La topologie de Attouch et Wetts sur les fermés non vides d’un espace métrique
  • 4.8 - Topologie de Hausdorff sur la classe des fermés-bornés d’un espace métrique
  • 4.9 - Topologie de Hausdorff sur la classe des compacts d’un espace métrique
  • 4.10 -  La topologie sur la classe des corps non vides compacts réguliers convexes euclidiens
  • 4.11 -  Comparaison des hyper-topologies

5 -  CONCLUSION

  • 5.1 -  Autres notions
  • 5.2 -  Problèmes et questions ouverts
  • 5.3 -  Applications inattendues
  • 5.4 -  Nouvelles applications et nouveaux développements théoriques

Article de référence | Réf : AF121 v1

 Conclusion
Espaces métriques II - Espaces particuliers

Auteur(s) : Jean-Charles PINOLI

Relu et validé le 07 mai 2021

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Sommaire

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RÉSUMÉ

La topologie générale est la branche des mathématiques qui traite des notions fondamentales de limite, de continuité et de voisinage utilisées en topologie, et de leurs propriétés. Les intérêts théoriques et applicatifs se situent dans toutes les branches de l’analyse et de la géométrie, et dans de nombreuses autres disciplines scientifiques non mathématiques. Cet article porte sur les espaces topologiques et métriques particuliers, des espaces d’applications entre espaces métriques, et des espaces de sous-ensembles d’un espace métrique ambiant.

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ABSTRACT

Metric Spaces II. Special Spaces

General topology is the branch of mathematics that deals with the fundamental concepts of boundary, continuity and neighborhood used in topology, and their properties. Its theoretical and applicational utility is found in all branches of analysis and geometry, and in many other scientific disciplines outside mathematics. This article deals with specific topological and metric spaces, spaces of maps between metric spaces, and space subsets of a given metric space.

Auteur(s)

  • Jean-Charles PINOLI : Professeur - École Nationale Supérieure des Mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France -

INTRODUCTION

La topologie générale est présentée en une série de six articles ; les deux premiers [AF97] [AF98] portant sur les espaces topologiques, les deux suivants [AF120] [AF121] sur les espaces métriques, et les deux derniers [AF122] [AF123] détaillant près de 150 exemples d’espaces topologiques/métriques possédant ou non les différentes notions topologiques/métriques présentées dans les articles susmentionnés.

La lecture des deux articles de la série portant sur les espaces topologiques [AF97] et [AF98] n’est pas un prérequis, mais est recommandée. Le lecteur pourra s’y référer pour consulter un ou plusieurs points particuliers.

Le lecteur est invité à lire la section 1 de l’article [AF120] pour une introduction détaillée.

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KEYWORDS

subset spaces   |   topological concepts   |   spaces of maps   |   object spaces

DOI (Digital Object Identifier)

https://doi.org/10.51257/a-v1-af121


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5.  Conclusion

5.1  Autres notions

Concernant la théorie des points fixes (Fixed Point Theory) dans les espaces métriques, notamment les hyper-espaces métriques, consulter .

Les théorèmes de coïncidence (coincidence theorems) généralisent les théorèmes du point fixe (p. 403 de ), les points fixes étant en effet des points de coïncidence particuliers.

L’espace quotient de la collection de tous les espaces métriques compacts par la relation d’équivalence « isométrique », équipé de la métrique de Hausdorff, de Edwards (1975) et de Gromov (1981) (Hausdorff, Edwards and Gromov’s metric), notée d H-E-G, constitue un espace métrique complet (p. 254 de ), séparable et connexe par chemins. Cet espace quotient peut aussi être muni de la distance de Lipschitz (Lipschitz’s metric), notée d L, (p. 249 de ), mais il n’est alors pas séparable en général. La topologie de Hausdorff, Edwards et Gromov ...

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BIBLIOGRAPHIE

  • (1) - AARTS (J.M.), NISHIURA (T.) -   Dimension and Extensions,  -  North Holland, 331 pages (1993).

  • (2) - ADAMS (C.), FRANZOSA (R.) -   Introduction to Topology Pure and Applied,  -  Pearson, 507 pages (2008).

  • (3) - ADAMSON (I.T.) -   A General Topology Workbook,  -  Springer, 152 pages (1993).

  • (4) - ALEXANDROFF (P.), URYSOHN (P.) -   Mémoire sur les espaces topologiques compacts, Verhandelingen der Koninklijke Nederl. Akadademie van Wetenschappen te Amsterdam,  -  Sect. I, 14, pp. 1-96 (1929).

  • (5) - AMBROSIO (L.), TILLI (P.) -   Topics on Analysis in Metric Spaces,  -  Oxford University Press, 133 pages (2004).

  • (6) - APPERT (A.) -   Propriétés des espaces abstraits les plus généraux : Ensembles ouverts,...

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