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Jean-Charles PINOLI : Professeur - École nationale supérieure des mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
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Lire l’articleINTRODUCTION
L’objectif de ce premier article est de proposer des réponses à une question fondamentale qui se pose à la fois en théorie et en pratique : quels modèles géométriques utiliser pour représenter et étudier les ensembles euclidiens de
? Il présente la première partie d’un panorama synthétique, branche par branche de la géométrie, en se concentrant sur les aspects vectoriels, topologiques et métriques. Il résume les principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec de nombreux exemples et de nombreuses illustrations en deux et trois dimensions.
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Théorie de la mesure géométrique I : mesuresArticle inclus dans l'offre
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9. Théorie de la dimension I : dimension vectorielle et dimension topologique
Le septième cadre mathématique général est celui de la théorie de la dimension (Dimension Theory) qui est une branche interdisciplinaire des mathématiques relative notamment à l’algèbre linéaire (Linear Algebra) et à la topologie générale (General Topology).
9.1 Dimension d’un espace vectoriel
La dimension d’un espace vectoriel ou dimension de Hamel (Hamel dimension) est la cardinalité commune à toutes ses bases vectorielles (i.e. le nombre de vecteurs composant chacune de ces bases, soit le nombre de coordonnées nécessaires pour spécifier tout vecteur).
HAUT DE PAGE9.2 Dimension d’un espace topologique
Définition (dimension de recouvrement de Lebesgue). La dimension de recouvrement de Lebesgue (Lebesgue covering dimension) (figure 35) d’un sous-ensemble X de
est définie comme étant le plus petit entier naturel k pour lequel la condition suivante est remplie : tout recouvrement par des sous-ensembles ouverts admet un raffinement fini par des sous-ensembles ouverts (c’est-à-dire un deuxième recouvrement par des sous-ensembles ouverts dans lequel chaque membre est un sous-ensemble d’un membre du premier recouvrement) tel qu’aucun point ne soit inclus dans plus de k + 1 membres.
9.3 Dimension d’une variété topologique
Une variété topologique connexe est localement homéomorphe à l’espace euclidien m-dimensionnel
, dans lequel le nombre entier m (0 ≤ m ≤ n) est la dimension de la variété. La dimension est également...
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BIBLIOGRAPHIE
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(2) - BERGER (M.) - Geometry, - Springer, vol. 1 and 2, [1st ed., 1987] (2009).
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(3) - BLOCH (E.D.) - A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry, - Birkhäuser, vol. 1 and 2, [1st ed., 1997], 421 pages (2009).
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(4) - COHN (D.L.) - Measure Theory, - Birkhäuser, [1st ed., 1980] (1997).
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(5) - COSTER (M.), CHERMANT (J.-L.) - Précis d’analyse d’image, - Éditions du CNRS, 560 pages (1986).
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(6) - COXETER (H.S.M.) - Introduction to Geometry, - John Wiley & Sons, [1st ed., John Wiley & Sons, 1961] (1989).
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