Ensembles euclidiens
Géométrie des ensembles euclidiens : aspects vectoriels, topologiques et métriques

1 - Ensembles euclidiens

2 - Théorie des ensembles

• 2.1 - Sous-ensembles et sur-ensembles
• 2.2 - Fonctions indicatrices
• 2.3 - Transformations ponctuelles
• 2.4 - Transformations ensemblistes

3 - Algèbre vectorielle

• 3.1 - Sous-espaces vectoriels et affines
• 3.2 - Transformations affines
• 3.3 - Congruence et similarité
  Figure 1 - Congruence et similarité dans le plan euclidien …
• 3.4 - Dimension et co-dimension
• 3.5 - Sections et projections
• 3.6 - Polygones et polyèdres
  Figure 2 - Exemples de polygones : le rectangle, le carré, le triangle, le parallélépipède, le losange, la croix, l’hexagone, l’octogone (d’après Wikipedia®) Figure 3 - Exemples de polyèdres (les cinq solides de Platon) : le tétraèdre, l’hexaèdre, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre (de gauche à droite) (d’après Wikipedia®)
• 3.7 - Addition et soustraction de Minkowski
• 3.8 - Ensembles parallèles intérieurs et extérieurs
  Figure 4 - Exemple d’un ensemble parallèle extérieur dans l’espace euclidien …

4 - Topologie euclidienne I : premières notions

• 4.1 - Ouverts — fermés — bornés — compacts
  Figure 5 - Exemple de sous-ensemble ouvert du plan euclidien … Figure 6 - Exemple d’un sous-ensemble compact du plan euclidien …
• 4.2 - Fermetures — intérieurs — frontières
  Figure 7 - Exemple d’un sous-ensemble du plan euclidien … Figure 8 - Relations entre différents points d’un sous-ensemble S de …
• 4.3 - Courbes et chemins
• 4.4 - Connexité(s)
  Figure 9 - Exemple de deux sous-ensembles du plan euclidien … Figure 10 - Exemple d’un sous-ensemble du plan euclidien …
• 4.5 - Lignes polygonales
  Figure 11 - Exemple d’une courbe polygonale dans le plan euclidien …
• 4.6 - Domaines et continua
  Figure 12 - Exemple d’un continuum dans le plan euclidien …
• 4.7 - Applications
  Figure 13 - Exemple d’homéomorphisme dans l’espace euclidien …
• 4.8 - Homotopies
  Figure 14 - Exemple d’homotopie dans le plan euclidien … Figure 15 - Un nœud de trèfle (trefoil knot) uniformément épaissi est homéomorphe, mais non homotopique, à un tore dans l’espace euclidien … Figure 16 - Exemples et contre-exemples d’ensembles contractiles (d’après Wikipedia®)

5 - Topologie euclidienne II : courbes et surfaces

• 5.1 - Courbes
  Figure 17 - Exemples de courbes planes élémentaires : courbe ouverte et simple, courbe close et simple, courbe close et non simple, courbe ouverte et non simple (de gauche à droite)
• 5.2 - Courbes de Jordan
  Figure 18 - Illustration du théorème de séparation de Jordan et de Veblen (d’après Wikipedia®) Figure 19 - Exemple d’une courbe de Jordan présentant de nombreux enroulements (d’après Wikipedia®)
• 5.3 - Courbes de Menger-Urysohn
• 5.4 - Surfaces spatiales
• 5.5 - Surfaces de Jordan
• 5.6 - Trompette de Torricelli
  Figure 20 - Trompette de Torricelli ayant une aire infinie et un volume fini (d’après Wikipedia®)
• 5.7 - Sphères d’Alexander et sphères sauvages
  Figure 21 - Sphère « cornue » d’Alexander (d’après Wikipedia®)

6 - Géométrie convexe

• 6.1 - Ensembles convexes
  Figure 22 - Exemples d’ensembles du plan euclidien … Figure 23 - De gauche à droite en rouge : points extrémaux, points exposés et points sommets de l’ensemble du plan euclidien …
• 6.2 - Enveloppes convexes
• 6.3 - Ensembles strictement convexes
• 6.4 - Ensembles poly-convexes
  Figure 24 - Ensemble poly-convexe dans le plan euclidien …
• 6.5 - Ensembles étoilés
  Figure 25 - Exemples d’ensembles du plan euclidien …
• 6.6 - Sections et projections

7 - Topologie géométrique

• 7.1 - Variétés topologiques
• 7.2 - Variétés topologiques avec bord
  Figure 26 - Variété topologique lisse avec bord dans l’espace euclidien …
• 7.3 - Courbes et surfaces
  Figure 27 - Exemples de surfaces avec ou sans bord dans l’espace euclidien … Figure 28 - Exemple d’une surface compacte à une seule face et un seul bord : ruban de Möbius (d’après Wikipedia®)
• 7.4 - Variétés topologiques lipschitziennes

8 - Topologie algébrique

• 8.1 - Nombres de Betti
  Figure 29 - Exemple d’une surface avec un bord et un percement : un tore percé
• 8.2 - Nombre de Descartes-Euler-Poincaré
  Figure 30 - Caractéristiques de Descartes-Euler-Poincaré d’un cercle et disque en dimension 2 (d’après Wikipedia®) Figure 31 - Caractéristiques de Descartes-Euler-Poincaré d’un simple et d’un double tore creux (d’après Wikipedia®) Figure 32 - Variété différentiable connexe et orientable comprenant un nombre très important de poignées
• 8.3 - Ensemble simplement connexe
  Figure 33 - Ensemble du plan euclidien … Figure 34 - Ensembles de l’espace euclidien …
• 8.4 - Ensembles pleins, remplis, creux, creusés

9 - Théorie de la dimension I : dimension vectorielle et dimension topologique

• 9.1 - Dimension d’un espace vectoriel
• 9.2 - Dimension d’un espace topologique
  Figure 35 - Dimension de recouvrement de Lebesgue (d’après Wikipedia®)
• 9.3 - Dimension d’une variété topologique

10 - Théorie de la mesure géométrique I : mesures

• 10.1 - Fonctionnelles
• 10.2 - Mesures
  Figure 36 - Monotonie d’une mesure positive (d’après Wikipedia®)
• 10.3 - Mesures extérieures
• 10.4 - Mesure de Lebesgue
• 10.5 - Courbes à aires strictement positives
  Figure 37 - Exemple de courbe d’Osgood (d’après Wikipedia®)
• 10.6 - Courbes remplissant l’espace
  Figure 38 - Quatre premières étapes de la construction de la courbe de Peano (d’après Wikipedia®)
• 10.7 - Mesures de Hausdorff
  Figure 39 - Mesure de Hausdorff d’une surface en dimension 3

11 - Théorie de la mesure géométrique II : contenus de Minkowski

• 11.1 - Contenu extérieur (n – 1)-dimensionnel de Minkowski
• 11.2 - Contenu intérieur (n – 1)-dimensionnel de Minkowski
• 11.3 - Contenu bilatéral (n – 1)-dimensionnel de Minkowski
  Figure 40 - Contenu bilatéral de Minkowski dans le plan euclidien …
• 11.4 - Formule de Steiner-Minkowski
  Figure 41 - Formule de Steiner-Minkowski dans le plan euclidien …
• 11.5 - Contenu m-dimensionnel de Minkowski

12 - Théorie de la mesure géométrique III : densités géométriques

• 12.1 - Densité de Lebesgue
• 12.2 - Points réguliers et point irréguliers
• 12.3 - Densité de Lebesgue-Hausdorff

13 - Théorie de la mesure géométrique IV : ensembles rectifiables

• 13.1 - Ensembles rectifiables
  Figure 42 - Ensemble du plan euclidien …
• 13.2 - Ensembles parallèles dilatés
• 13.3 - Sections et projections
• 13.4 - Ensembles non rectifiables
  Figure 43 - Ensemble de Cantor dans le plan euclidien …

14 - Discussion