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-
Jean-Charles PINOLI : Professeur - École nationale supérieure des mines de Saint-Étienne, Saint-Étienne, France
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Lire l’articleINTRODUCTION
L’objectif de ce premier article est de proposer des réponses à une question fondamentale qui se pose à la fois en théorie et en pratique : quels modèles géométriques utiliser pour représenter et étudier les ensembles euclidiens de
? Il présente la première partie d’un panorama synthétique, branche par branche de la géométrie, en se concentrant sur les aspects vectoriels, topologiques et métriques. Il résume les principales notions et concepts nécessaires pour traiter rigoureusement de la modélisation et la description géométrique des ensembles euclidiens, avec de nombreux exemples et de nombreuses illustrations en deux et trois dimensions.
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Théorie de la dimension I : dimension vectorielle et dimension topologiqueArticle inclus dans l'offre
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8. Topologie algébrique
Le sixième cadre mathématique général est celui de la topologie algébrique (Algebraic Topology), qui revient à utiliser les notions et outils de l’algèbre abstraite (Abstract Algebra) pour étudier les espaces topologiques.
8.1 Nombres de Betti
Définition (nombres de Betti). Le k-ième nombre de Betti (k-dimensional Betti number) d’un sous-ensemble de
non vide est un nombre entier noté βk (k = 0,.., n). En dimension 2 : β0 est le nombre de composantes connexes et β1 est le nombre de trous (i.e. cavités). En dimension 3 : β0 est le nombre de composantes connexes, β1 est le nombre total de trous et β2 est le nombre de cavités (figure 29).
En dimension 2, il existe seulement un type de trous. En dimension 3, il existe deux types de trous : les cavités ou trous intérieurs (inner holes) et les tunnels (outer holes or pass trough holes).
Une cavité (cavity) d’un sous-ensemble X non vide de
est une composante connexe du complémentaire de X. La collection de toutes les cavités d’un sous-ensemble X de
est notée : Cav(X).
Exemple (tore creux) : un tore creux a une composante connexe, deux trous bidimensionnels (un tunnel intérieur et un tunnel extérieur) et un trou tridimensionnel (i.e. une cavité). Ses nombres de Betti sont 1,2,1.
8.2 Nombre...
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BIBLIOGRAPHIE
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(1) - AUBIN (J.P.), FRANKOWSKA (H.) - Set-Valued Analysis, - Birkhäuser (1990).
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(2) - BERGER (M.) - Geometry, - Springer, vol. 1 and 2, [1st ed., 1987] (2009).
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(3) - BLOCH (E.D.) - A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry, - Birkhäuser, vol. 1 and 2, [1st ed., 1997], 421 pages (2009).
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(4) - COHN (D.L.) - Measure Theory, - Birkhäuser, [1st ed., 1980] (1997).
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(5) - COSTER (M.), CHERMANT (J.-L.) - Précis d’analyse d’image, - Éditions du CNRS, 560 pages (1986).
-
(6) - COXETER (H.S.M.) - Introduction to Geometry, - John Wiley & Sons, [1st ed., John Wiley & Sons, 1961] (1989).
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